初中平面几何证明解答题是初中数学的一大难点，而添加辅助平行线是常用方法。常能使久思不得其解的问题呈现“柳暗花明又一村”的局面。

下仅举几例，望能达到“领会一例通晓一类”之功效。

一、构造三角形的中位线

例1. 已知：如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，延长AB至D，使BD＝AB，E为AB中点，连结CE、CD。

求证：CD＝2CE

证明：方法1：如图1，过B作△ADC的中位线交CD于F，连结BF。

所以BF平行且等于

又

所以BF＝BE，∠FBC＝∠BCA＝∠CBA

又BC＝BC

所以△EBC≌△FBC

所以CE＝CF，所以CD＝2CE

方法2：如图2，过B作△ADC中位线，交AC于F，连结BF，则BF平行且等于，要使结论成立，只需证明CE＝BF（略）。

方法3：如图3，过A点引AG∥EC交BC延长线于G点，EC实为△ABG中位线，易证AG＝2CE，要使结论成立，只需证明△BDC≌△CAG。（略）

评注：由此题可见，构造三角形中位线是证明有关三角形问题最常用、有效地方法之一。关键利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。（此题证明方法至少还有4种以上，此不多叙，留给大家思考。）

二、过关键点作平行线

例2. （梅氏定理）如图4，一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于点D、E、F，那么。

证明：如图4，过点C作CG∥DF交AB于G，于是

所以

评注：一般几何证明题中题设或结论出现有比例等式，通常都会要用到平行线相关定理，而所作平行线必与题设或结论中出现的线段有关，故关键点应从此入手。

三、构造平行四边形

例3. （1970年美国初中竞赛题）如图5，线段AB∥CD，∠D＝2∠B。

求证：AD＋DC＝AB

证明：过D作DE∥BC，与AB交于点E，可知四边形BCDE为平行四边形。

所以∠1＝∠B＝∠2，EB＝DC

因为∠ADC＝2∠B

所以∠3＝∠1＝∠2

所以AD＝AE

所以得证。

例4. 如图6，已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，梯形ABCD的面积等于，求△AED的面积。

解：过E作AD的平行线，交AB于F，交DC的延长线于G，易证△BEF≌△CEG，

则

所以

评注：证明线段（或角）的和、差、倍、分，我们常利用截长、补短的方法使它等于第三量，而通常将图形截成平行四边形，利用相关性质、特点加以解答。

四、线段平移法

例5. 如图7，直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，DE⊥DF，DE、DF分别交AC、BC于E、F。

求证：

辨析：解此题没有很好发挥联想，难以证明。由结论的三条线段的关系，符合直角三角形三边特征，是一组勾股数，而使我们联想到将AE、BF、EF变换到同一三角形中。

证明：过A作AG∥BC，延长FD与AG交于点G，易证△DFB≌△DGA，从而FB＝GA，可知ED为FG的中垂线，故有EG＝EF，连结EG，则△AEG为直角三角形。

因此：，得证。

例6. 如图8，已知点P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PAB＝∠PCB。

求证：∠PBA＝∠PDA

辨析：本题已知和结论所涉及的4个角位置分散，不易发现它们间的内在联系，故应设法将其适当集中。

证明：将AP平移到DE，而PE、CE则可看成由BC、BP平移所至。可得△DCE≌△ABP。

∠1＝∠PCB，∠2＝∠PAB

∠3＝∠PDA，∠4＝∠PBA

由已知有∠PAB＝∠PCB

所以∠1＝∠2

所以P、C、E、D四点共圆

所以∠3＝∠4

所以∠PBA＝∠PDA

评注：在证明线段、角的相等问题或和、差、倍、分问题时，如果已知条件在图形中位置较分散或不便联系，那么通常可设法将某些线段平移，达到解题的目的。